خانه
گاما

درسنامه آموزشی فیزیک (3) دوازدهم علوم ریاضی

فصل پنجم: اثر فوتوالکتریک و فوتون

بازدید18/5 K
تاریخ بروزرسانی1400/01/25

تا دهه‌های پایانی قرن نوزدهم، بیشتر حوزه‌های فیزیک، از جمله مکانیک نیوتونی، ترمودینامیک و نظریهٔ الکترومغناطیس ماکسول که امروزه با نام فیزیک کلاسیک از آنها یاد می‌شود به صورت‌بندی نهایی خود رسیده بود و به نظر می‌رسید که در توصیف گسترهٔ وسیعی از پدیده‌های فیزیکی کاملاً موفق‌اند. با این حال در آن سال‌ها، پدیده‌هایی مشاهده و آزمایش‌هایی انجام شد که تبیین کامل و درست آنها با نظریه‌های فیزیک کلاسیک ممکن نبود و سبب تغییرات بنیادی در دیدگاه فیزیک‌دانان نسبت به توضیح رفتار برخی از پدیده‌های فیزیکی شد. به طوری که در سه دههٔ آغازین قرن بیستم، نتایج این تلاش‌ها به نظریهٔ نسبیت خاص (مربوط به مطالعهٔ پدیده‌ها در تندی‌هاى بسیار زیاد و قابل مقایسه با تندی نور)، نظریهٔ نسبیت عام (مربوط به مطالعهٔ هندسهٔ فضا - زمان و گرانش) و نظریهٔ کوانتومی (مربوط به مطالعهٔ پدیده‌ها در مقیاس‌هاى بسیار کوچک، مانند اتم‌ها و ذره‌هاى سازندهٔ آنها) منجر شد که امروزه به آن فیزیک جدید می‌گویند. اندکی پس از ظهور این نظریه‌ها، شاخه‌های دیگری مانند فیزیک هسته‌ای، فیزیک ذرات بنیادی و کیهان شناسی به تدریج به وجود آمدند.
در این فصل ضمن معرفى و بررسى برخى از پدیده‌ها مانند اثر فوتوالکتریک و طیف خطی گسیلی و جذبی از گازهای اتمی که با فیزیک کلاسیک قابل توجیه نبودند، به معرفى الگوهای اتمی مى‌پردازیم. در پایان نیز با لیزر و مبانی فیزیکی آن آشنا خواهیم شد.

1-5 اثر فوتوالکتریک و فوتون

اگر بر کلاهک برق نمایی با بار منفی، نور فرابنفشی تابیده شود، مشاهده می‌شود که انحراف ورقه‌های آن کاهش می‌یابد (شکل 5-1 الف) در حالی که با تابش نور مرئی، تغییری در انحراف ورقه‌های برق نما رخ نمی‌دهد (شکل 5-1 ب).

الف) برهم کنش نور فرودی فرابنفش با کلاهک برق نما سبب می‌شود تا ورقه‌های آن به سرعت به هم نزدیک شوند. ب) در حالی که برهم کنش نور مرئی گسیل شده از یک لامپ رشته‌ای تغییری در انحراف ورقه‌های برق نما به وجود نمی آورد
شکل 5-1 الف) برهم کنش نور فرودی فرابنفش با کلاهک برق نما سبب می‌شود تا ورقه‌های آن به سرعت به هم نزدیک شوند. ب) در حالی که برهم کنش نور مرئی گسیل شده از یک لامپ رشته‌ای تغییری در انحراف ورقه‌های برق نما به وجود نمی‌آورد.

چرا این پدیده اتفاق می‌افتد؟ آزمایش نشان می‌دهد وقتی نوری با بسامد مناسب مانند نور فرابنفش به سطحی فلزی بتابد الکترون‌هایی از آن گسیل می‌شوند (شکل 5 -2). این پدیدهٔ فیزیکی را، اثر فوتوالکتریک و الکترون‌های جدا شده از سطح فلز را فوتوالکترون مى‌نامند.

الکترون‌ها، انرژی نور فرودی را جذب می کنند و از سطح فلز خارج می شوند
شکل 5-2 الکترون‌ها، انرژی نور فرودی را جذب می‌کنند و از سطح فلز خارج می‌شوند.

براى بررسى اثر فوتوالکتریک، طرح آزمایش ساده‌ای در شکل 5-3 نشان داده شده است. در این دستگاه صفحهٔ فلزى هدف $T$ و جمع کنندهٔ فلزی $C$ درون یک محفظهٔ شیشه‌ای خلأ قرار دارند که از بیرون به یک گالوانومتر (آمپرسنج حساس) متصل شده‌اند. نور تکفام (تک بسامد) با بسامد به قدر کافی بالا بر صفحهٔ $T$ فرود می‌آید و فوتوالکترون‌ها را آزاد می‌کند. این فوتوالکترون‌ها به جمع کنندهٔ $C$ می‌رسند و در نتیجه گالوانومتر که در مدار قرار دارد جریانی را آشکار می‌کند. با افزایش شدت این نور، گالوانومتر عدد بزرگ‌تری را نشان می‌دهد، حال آنکه آزمایش نشان می‌دهد که اگر بسامد نور فرودی از مقدار معیّنی کمتر باشد، هر چقدر هم که شدت نور فرودی افزایش یابد این پدیده رخ نمی‌دهد و گالوانومتر عبور جریانی را نشان نمی‌دهد.

در اثر فوتوالکتریک، نوری تکفام با بسامدی به قدر کافی بالا، الکترون‌ها را از سطح صفحۀ فلزی T بیرون می‌آورد. این فوتوالکترون‌ها، به طرف جمع کنندۀ C می‌روند و جریانی را در مدار به وجود می‌آورند.
شکل 5-3 در اثر فوتوالکتریک، نوری تکفام با بسامدی به قدر کافی بالا، الکترون‌ها را از سطح صفحۀ فلزی $T$ بیرون می‌آورد. این فوتوالکترون‌ها، به طرف جمع کنندۀ $C$ می‌روند و جریانی را در مدار به وجود می‌آورند.

ماکس پلانک (1947-1855 م.) در سال 1885 دانشیار فیزیک نظری در دانشگاه کیل شد و علاوه بر تدریس، مقاله‌های مهمی دربارهٔ ترمودینامیک منتشر کرد. از کارهای او در زمینهٔ توزیع طیف تابشی، که به نظریهٔ کوانتومی انجامید، با اهدای جایزهٔ نوبل سال 1918 تقدیر شد. در سال‌های بعد، نوشته‌های پلانک بیشتر در زمینهٔ موضوع‌های مذهبی و فلسفی بود. درست در آستانهٔ دورانی که پلانک از نظر حرفه‌ای مورد تحسین همگان قرار گرفته بود، متأسفانه زندگی شخصی وی با تِراژدی آمیخته شد، به طوری که طی سال‌های 1909 تا 1919 همسر، پسر بزرگ و دخترهای دوقلویش به دلایل متفاوتی از دنیا رفتند. پلانک در سال 1927، پس از حدود چهل سال سابقهٔ دانشگاهی، از دانشگاه برلین بازنشسته شد.

ماکس پلانک

همان طور که در فصل 3 دیدیم نور، موجی الکترومغناطیسی است. بنابراین می‌توان انتظار داشت هنگام برهم کنش موج الکترومغناطیسی (نور فرودی) با سطح فلز، میدان الکتریکی این موج، نیروی $\overrightarrow{F}=-e\overrightarrow{E}$ به الکترون‌های فلز وارد کند و آنها را به نوسان وادارد. به این ترتیب، وقتی دامنهٔ نوسان برخی از الکترون‌ها به قدر کافی بزرگ شود انرژی جنبشی لازم را برای جدا شدن از سطح فلز پیدا می‌کنند. بنا به این دیدگاه کلاسیکی، این پدیده باید با هر بسامدی رخ دهد در حالی که این نتیجه با تجربه سازگار نیست. یکی دیگر از پیامدهای نظریهٔ الکترومغناطیسی ماکسول این است که شدت نور با مربع دامنهٔ میدان الکتریکی موج الکترومغناطیسی متناسب است $(I\infty {{E}^{2}})$. به این ترتیب انتظار می‌رود به ازای یک بسامد معیّن، اگر شدت نور فرودی بر سطح فلز را افزایش دهیم باید الکترون‌ها با انرژی جنبشی بیشتری از فلز خارج شوند، نتیجه ای که تجربه آن را تأیید نمی‌کند.
پس از نزدیک به 20 سال که تلاش بسیاری از دانشمندان برای توجیه اثر فوتوالکتریک به کمک مفاهیم و قانون‌های فیزیک کلاسیک به نتیجه نرسیده بود در سال 1905 اینشتین توضیحی قانع کننده در مورد این اثر ارائه داد و جایزهٔ نوبل فیزیک سال 1921 میلادی را به خاطر تبیین آن دریافت کرد. اینشتین در نظریهٔ فوتوالکتریک خود با توجه به کارهای قبلی پلانک در زمینهٔ تابش گرمایی اجسام، فرض کرد که نور با بسامد $f$ را می‌توان به صورت مجموعه‌ای از بسته‌های انرژی در نظر گرفت. هر بستهٔ انرژی، که بعدها فوتون نامیده شد، دارای انرژی‌ای است که از رابطه زیر به دست می‌آید:

(۱-۵)                  (انرژی فوتون)                                               $E=hf$

در این رابطه $h$ ثابت پلانک نامیده می‌شود و به طور تجربی معلوم شده است که مقدار آن $h=6/63\times {{10}^{-34}}J.s$ است.
بنا بر نظر اینشتین، وقتی نوری تکفام بر سطح فلزی می‌تابد، هر فوتون صرفاً با یکی از الکترون‌های فلز برهم کنش می‌کند. اگر فوتون انرژی کافی داشته باشد تا فرایند خارج کردن الکترون از فلز را انجام دهد، الکترون به طور آنی از آن گسیل می‌شود. در این صورت بخشی از انرژی فوتون صرف جدا کردن الکترون از فلز می‌شود و مابقی آن به انرژی جنبشی الکترون خارج شده تبدیل می‌شود.
این نظر اینشتین را می‌توان به کمک قانون پایستگی انرژی به صورت زیر نوشت:

(۲-۵)             (قانون پایستگی انرژی در اثر فوتو الکتریک)                                    $hf=W+K$

که در آن $W$ کار (انرژی) لازم براى خارج کردن الکترون‌ها از سطح یک فلز و $K$ انرژی جنبشی آنها پس از جدا شدن از سطح آن فلز است. از آنجا که برخى از الکترون‌ها در فلز کمتر مقید‌ند، براى خارج کردن آنها از فلز کار کمترى لازم است. بنابراین اگر حداقل کار لازم براى خارج کردن الکترون‌ها از سطح یک فلز خاص ${{W}_{0}}$ باشد، انرژی جنبشى سریع‌ترین فوتوالکترون‌هاى گسیل شده از آن برابر خواهد بود با:

(۳-۵)             (معادلهٔ فوتو الکتریک)                                    ${{K}_{\max }}=hf-{{W}_{0}}$

${{W}_{0}}$ را تابع کار فلز مى‌نامند که به جنس فلز بستگی دارد و همان گونه که گفتیم، کمینه کار لازم براى خارج کردن یک الکترون از یک فلز معیّن است. در جدول 5-1 تابع کار چند فلز داده شده است.
***جدول

جدول 5-1 تابع کار چند فلز
فلز ${{W}_{0}}(eV)$
طلا $5/20$
کبالت $5/01$
نیکل $4/90$
مس $4/70$
نقره $4/64$
تنگستن $4/52$
آهن $4/50$
روی $4/31$

اگر نمودار ${{K}_{\max }}$ برحسب $f$ را با توجه به معادلهٔ 5-3 رسم کنیم، به صورت خط راستی خواهد بود که محور افقی را در $f={{f}_{0}}$ قطع می‌کند (شکل 5-4).

نمودار بیشینۀ انرژی جنبشی فوتوالکترون‌ها بر حسب بسامد نور فرودی
شکل 5-4 نمودار بیشینۀ انرژی جنبشی فوتوالکترون‌ها بر حسب بسامد نور فرودی.
 وقتی بسامد نور فرودی بزرگ‌تر از ${{f}_{0}}$ یا مساوی با آن باشد فوتون‌ها می‌توانند الکترون‌ها را از فلز خارج کنند.

در این بسامد، که معمولاً بسامد آستانه نامیده می‌شود، الکترون بدون هیچ انرژیِ جنبشی‌ای در آستانهٔ ترک فلز است. در این صورت با توجه به معادلهٔ 5-3، انرژی فوتون فرودی مساوی تابع کار فلز است و بسامد آستانه از رابطهٔ زیر به دست می‌آید:

(۴-۵)             (بسامد آستانهٔ فوتو الکترون‌ها)                                   ${{f}_{0}}=\frac{{{W}_{0}}}{h}$

پرسش ۵-۱ (صفحهٔ ۱۱۸ کتاب درسی)

 

تابشی با بسامد معیّن باعث می‌شود تا فوتوالکترون‌هایی سطح فلز 1 را ترک کنند، ولی از سطح فلز 2 خارج نشوند. انرژی فوتون‌های فرودی را با تابع کار فلزها مقایسه کنید.
چون در فلز اول اثر فوتوالکتریک رخ داده است، بسامد نور فرودی بر سطح فلز اول از بسامد آستانهٔ فوتوالکترون‌ها بزرگ‌تر است $({{f}_{1}} \gt {{f}_{{{0}_{1}}}})$ و طبق معادلهٔ ${{K}_{\max }}=hf-{{W}_{0}}$ می‌توان نتیجه گرفت انرژی فوتون‌های فرودی بر سطح فلز اول از تابع کار بزرگ‌تر $(h{{f}_{{{0}_{1}}}} \gt {{W}_{{{0}_{1}}}})$، ولی در فلز دوم اثر فوتوالکتریک رخ نداده است. پس بسامد نور فرودی بر سطح فلز دوم از بسامد آستانهٔ فوتوالکترون‌ها کوچک‌تر یا برابر آن است $({{f}_{2}}\le {{f}_{{{0}_{2}}}})$ و طبق معادلهٔ ${{K}_{\max }}=hf-{{W}_{0}}$ می‌توان نتبجه گرفت انرژی فوتون‌های فرودی بر سطح فلز دوم از تابع کار فلز کوچک‌تر یا مساوی با آن است. $(h{{f}_{{{0}_{2}}}} \lt {{W}_{{{0}_{2}}}})$

توجه: در فیزیک اتمی و فیزیک هسته‌ای، یکای ژول برای بیان انرژی فوتون‌ها و ذرات، یکای بسیار بزرگی است. به همین دلیل از یکایی به نام الکترون ولت $(eV)$ استفاده می‌کنیم. برای آشنایی با این یکای غیر $SI$، فرض کنید الکترونی با بار $q=-e=-1/60\times {{10}^{-19}}C$، بین دو نقطه با اختلاف پتانسیل $1V$ حرکت کند. در این صورت بنا به رابطهٔ $\Delta U=q\Delta V$ که در فیزیک 2 با آن آشنا شدید، اندازهٔ تغییر در انرژی پتانسیل الکتریکی الکترون برابر است با:

$\left| \Delta U \right|=\left| q\Delta V \right|=\left| (-1/60\times {{10}^{-19}}C)(1V) \right|=1/60\times {{10}^{-19}}J$

این مقدار انرژی را بنا به تعریف، یک الکترون ولت $(1eV=1/60\times {{10}^{-19}}J)$ می‌نامند. مضرب‌های دیگری از این یکا به صورت $keV$ (کیلو الکترون ولت) و $MeV$ (مِگا الکترون ولت) اغلب به کار می‌رود.
به این ترتیب یکای ثابت پلانک را به جای $J.s$ می‌توان برحسب یکای $eV.s$ نیز بیان کرد:

$h=(6/63\times {{10}^{-34}}J.s)\left( \frac{1eV}{1/60\times {{10}^{-19}}J} \right)=4/14\times {{10}^{-15}}eV.s$

مثال ۵-۱
یک چشمهٔ نور مرئی با توان $100W$، فوتون‌هایی با طول موج $\lambda =550nm$ گسیل می‌کند.
الف) انرژی هر فوتون را برحسب الکترون ولت محاسبه کنید.
ب) چه تعداد فوتون در هر ثانیه از این چشمهٔ نور گسیل می‌شود؟
پاسخ: الف) از رابطهٔ 5-1 انرژی هر فوتون برابر است با:

$E=hf=\frac{hc}{\lambda }$

ابتدا مقدار $hc$ را حساب می‌کنیم:

$hc=(6/63\times {{10}^{-34}}J.s)(3/00\times {{10}^{8}}m/s)=19/9\times {{10}^{-26}}J.m$

اگر $J$ برحسب $eV$ و $m$ را برحسب $nm$ بنویسیم، خواهیم داشت:

$hc=(19/9\times {{10}^{-26}}J.m)(\frac{1eV}{1/60\times {{10}^{-19}}J})(\frac{1nm}{{{10}^{-9}}m})=1/24\times {{10}^{3}}eV.nm$

بنابراین در حل مسائل می‌توانیم مقدار $hc$ را برابر $1240eV.nm$ اختیار کنیم. خوب است این مقدار و یکای آن را به خاطر بسپارید تا در صورت نیاز از آن استفاده کنید. به این ترتیب داریم:

$E=\frac{1/24\times {{10}^{3}}eV.nm}{550nm}=2/25eV$

 ب) ابتدا انرژی تابش شده توسط لامپ را در هر ثانیه به دست می‌آوریم:

$E=pt=(100W)(1s)=100J=(100J)(\frac{1eV}{1/60\times {{10}^{-19}}J})=6/25\times {{10}^{20}}eV$

نسبت این انرژی به انرژی هر فوتون که در قسمت الف پیدا کردیم، شمار فوتون‌های گسیل شده از این چشمه را در هر ثانیه به دست می‌دهد. به این ترتیب داریم:

$n=\frac{6/25\times {{10}^{20}}eV}{2/25eV}=2/77\times {{10}^{20}}$

این شمار زیاد فوتون، که در هر ثانیه از یک چشمهٔ معمولی نور در فضای پیرامون آن گسیل می‌شود حاکی از آن است که در زندگی روزمره آثار ناشی از این شمار بسیار زیاد فوتون برای ما ملموس نیست.

مثال ۵-۲
الف) تابع کار طلا برابر $5/20eV$ است. بسامد کمینهٔ نور برای خارج کردن الکترون‌ها از سطح این فلز را پیدا کنید.
ب) طول موج آستانه (طول موج متناظر با بسامد آستانه ${{f}_{0}}$) را به دست آورید.
پاسخ: الف) بسامد کمینهٔ نور برای خارج کردن الکترون‌ها از سطح طلا برابر بسامد آستانه است. بنابراین از رابطهٔ 5-4 داریم:

${{f}_{0}}=\frac{{{W}_{0}}}{h}=\frac{5/20eV}{4/14\times {{10}^{-15}}eV.s}=1/26\times {{10}^{15}}Hz$

فوتون‌های نوری که بسامد آنها بیشتر از ${{f}_{0}}=1/26\times {{10}^{15}}Hz$ است، انرژی کافی برای خارج کردن الکترون‌ها از سطح طلا را دارند.
ب) از رابطهٔ ${{\lambda }_{0}}=c/{{f}_{0}}$، طول موج متناظر با این بسامد تقریباً $236nm$ به دست می‌آید که در ناحیهٔ فرابنفش طیف الکترومغناطیسی قرار دارد.

مثال ۵-۳
نوری با طول موج $240nm$ به سطحی از جنس تنگستن با تابع کار $4/52eV$ می‌تابد.
الف) بسامد نور فرودی و بسامد آستانه را برای تنگستن پیدا کنید.
ب) بیشینهٔ تندی فوتوالکترون‌های خارج شده از تنگستن را حساب کنید. (جرم الکترون را $9/11\times {{10}^{-31}}kg$ بگیرید.)
پاسخ: الف) از رابطهٔ $f=c/\lambda $، بسامد متناظر با طول موج نور فرودی را به دست می‌آوریم:

$f=\frac{c}{\lambda }=\frac{3/00\times {{10}^{8}}m/s}{240\times {{10}^{-9}}m}=1/25\times {{10}^{15}}Hz$

همچنین بنا به رابطهٔ 5-4، بسامد آستانه برای سطحی از جنس تنگستن برابر است با:

${{f}_{0}}=\frac{{{W}_{0}}}{h}=\frac{4/52eV}{4/14\times {{10}^{-15}}eV.s}=1/09\times {{10}^{15}}Hz$

چون بسامد نور فرودی بیشتر از بسامد آستانه است $(f \gt {{f}_{0}})$، برهم کنش فوتون‌های نور فرودی با الکترون‌های سطح تنگستن، سبب خارج شدن و ترک فوتوالکترون‌هایی از سطح آن می‌شود.
ب) ابتدا بیشینهٔ انرژی جنبشی فوتوالکترون‌های گسیل شده را از رابطهٔ 5-3 محاسبه می‌کنیم. به این ترتیب داریم:

${{K}_{\max }}=hf-{{W}_{0}}=\frac{hc}{\lambda }-{{W}_{0}}=\frac{1/24\times {{10}^{3}}eV.nm}{240nm}-4/52eV=0/646eV$

با تبدیل یکای مقدار به دست آمده بر حسب ژول داریم:

${{K}_{\max }}=(0/646eV)(\frac{1/60\times {{10}^{-19}}J}{1eV})=1/03\times {{10}^{-19}}J$

به این ترتیب از رابطهٔ ${{K}_{\max }}=\frac{1}{2}mv_{\max }^{2}$، بیشینهٔ تندی فوتوالکترون‌های خارج شده برابر است با:

${{v}_{\max }}=\sqrt{\frac{2{{K}_{\max }}}{m}}=\sqrt{\frac{2\times 1/03\times {{10}^{-19}}J}{9/11\times {{10}^{-31}}kg}}=4/75\times {{10}^{5}}m/s$

تمرین ۵-۱ (صفحهٔ ۱۲۰ کتاب درسی)

 

طول موج آستانه براى اثر فوتوالکتریک در یک فلز معیّن برابر $254nm$ است.
الف) تابع کار این فلز برحسب الکترون ولت چقدر است؟
نقشهٔ راه: به کمک رابطهٔ بسامد آستانه داریم:

${{f}_{0}}=\frac{{{W}_{0}}}{h}=\frac{c}{{{\lambda }_{0}}}\to {{W}_{0}}=\frac{124eV.nm}{254nm}=4/89eV$

ب) توضیح دهید که آیا اثر فوتوالکتریک به ازاى طول موج‌های کوچک‌تر، مساوی یا بزرگ‌تر از $254nm$ مشاهده خواهد شد.
اگر $\lambda  \gt 254nm$ باشد، بسامد کمتر از بسامد آستانه شده و اثر فوتوالکتریک رخ نخواهد داد، زیرا انرژی فوتون مورد نظر کمتر از تابع کار خواهد شد. ولی به ازای $\lambda  \lt 254nm$ انرژی فوتون از تابع کار بیشتر بوده و اثر فوتوالکتریک دیده می‌شود.

تمرین ۵-۲ (صفحهٔ ۱۲۰ کتاب درسی)

 

در پدیدهٔ فوتوالکتریک برای فلز روی،
الف) بلندترین طول موجى را پیدا کنید که سبب گسیل فوتوالکترون‌ها مى‌شود.
نقشهٔ راه: طبق جدول (۵-۱) کتاب تابع کار برابر $4/31eV$ است، بلندترین طول موج برابر با طول موج آستانه است، یعنی:

${{W}_{0}}=h{{f}_{0}}=h\frac{c}{{{\lambda }_{0}}}\to {{\lambda }_{0}}=\frac{hc}{{{W}_{0}}}=\frac{1240eV.nm}{4/31eV}=287/7nm=2/87\times {{10}^{-7}}m$

ب) وقتى نوری با طول موج $220nm$ با سطح این فلز برهم کنش کند، بیشینه. تندی فوتوالکترون‌ها چقدر است؟
گام اول: طبق ابتدا بیشینهٔ انرژی جنبشی فوتوالکترون‌های گسیل شده را به دست می‌آوریم:

${{K}_{\max }}=hf-{{W}_{0}}=\frac{hc}{\lambda }-{{W}_{0}}=\frac{1240eV.nm}{220nm}-4/31=5/64-4/31\Rightarrow {{K}_{\max }}=1/33eV$

شکست مدل موج الکترومغناطیسی در توضیح برخی پدیده‌ها مانند اثر فوتوالکتریک به این معنی نیست که مدل موجی نور باید کنار گذاشته شود. ولی، باید متوجه باشیم که مدل موجی، تمام ویژگی‌های نور را دربرندارد و به همین دلیل قادر نیست توجیه درستی از تمامی پدیده‌های فیزیکی مرتبط با برهم کنش نور با ماده را ارائه کند.

قسمت 1: اثر فوتوالکتریک و فوتون